CONCEPTOS Y FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
(Estas notas son sólo un formulario y un recordatorio de los temas que han sido
desarrollados en clase. Por lo tanto, no sustituyen sino que complementan la
actividad en clase).
1. INTERÉS SIMPLE
Una operación financiera se dice que es a interés simple cuando el interés es calculado sobre el capital (o principal) original y para el periodo completo de la transacción. En otras palabras, no hay capitalización de intereses.
Fórmulas aplicables en estas operaciones:
I = i
K t
(1)
S = K
+ I = K (1 + i t)
(2)
donde: i = tasa de interés
K = capital o principal
t = tiempo que dura la operación
I = interés de la operación
S = monto de la operación (principal más intereses)
Importante: la tasa de interés y el tiempo deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la tasa de interés es anual , mensual, semanal, etc., t debe estar expresado en términos de años, meses, semanas, etc. Cuando el tiempo se expresa en años, existen dos convenciones alternativas: considerar el número exacto de días en el año (365 o 366 en años bisiestos) o bien considerar que el año tiene 360 dias (= 12 meses de 30 días). Cuando se usa la primera convención se dice que el interés es exacto y cuando se usa la segunda se dice que el interés es ordinario. La convención que se utiliza en México es la del interés ordinario.
De la (2) se deducen por simple despeje las siguientes:
K = S
/ (1 + i t) (3)
i = (S
/K - 1)/ t (4)
t = (S
/ K - 1) /i (5)
1.2. Tasa de descuento y tasa de interés
Es común en operaciones bancarias y también en el caso de bonos del tipo "cupón cero" (como los CETES y papel comercial privado), el uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de interés, como referencia del rendimiento de la operación. Usar la tasa de descuento o la tasa de interés es puramente convencional y siempre podemos expresar una en términos de la otra, de acuerdo con las siguientes fórmulas:
i = d
/ (1 -
dt) (6)
d =
i / (1 + r
t)
(7)
donde, nuevamente, se debe tener cuidado en que la tasa de descuento y la tasa de interés estén expresadas en la misma unidad de tiempo que t.
2. INTERÉS COMPUESTO
Una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año) se divide en periodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos se agrega al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada periodo percibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del plazo completo.
Fórmulas aplicables en operaciones a interés compuesto.
S = K
(1 + i )n
(8)
donde ahora i es la tasa de interés por periodo y n es el número de periodos en que se ha subdividido el plazo total de la operación. Despejando (6) se obtienen las siguientes:
K = S
/ (1 + i ) n
(9)
i = (
S / K )1/n -
1 (10)
n = ln
(S/K) / ln (1 + i) (11)
Al igual que en el caso de interés simple, K y S pueden ser consideradas como el valor presente y el valor futuro respectivamente de la operación financiera.
2.1. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente.
Cuando una operación financiera a un año de plazo es a interés compuesto, la tasa de interés efectiva devengada es diferente (mayor) a la tasa de interés nominal anual. Esto sucede debido al proceso de capitalización de intereses. Si tomamos una operación financiera a un año convenida a una tasa de interés nominal anual (ia ) y en la cual los intereses son capitalizables m veces en el año, se tendrá que la tasa de interés efectiva anual (ie) será igual a:
ie = [1 + (ia/m)] m - 1 (12)
donde m es el número de veces que los intereses se acumulan al capital durante el año. Se dice que m es la frecuencia de capitalización anual. De la (10) se deduce que:
ia = [ (1 + ie) 1/m - 1] m (13)
Puede deducirse de (10) que pueden existir multiples combinaciones de ia y m que produzcan tasas de interes efectivas iguales, por ejemplo, una tasa de interés nominal mayor combinada con una frecuencia de capitalización menor. En estos casos se habla de tasas de interés equivalentes.
2.2. El caso de capitalización continua.
Un caso interesante y que da lugar a fórmulas de mucha aplicación en el trabajo análitico y teórico es cuando se supone que la frecuencia de capitalización es extraordinariamente grande, tendiendo a infinito. Se dice en estos casos que se trata de un caso de capitalización continua. Supongamos una operación financiera en la que existe un principal K y se ha pactado una tasa nominal anual j con una frecuencia de capitalización m durante el año y que el plazo de la operación es por t años. La fórmula aplicable es la (6) pero ahora tendremos que la tasa de interés por periodo es j/m y el número total de periodos es igual mt.
S = K
( 1 + j/m ) mt
la cual transformamos de la siguiente manera:
S = K
[1 + 1/(m/j)] ( m / j ) j t
(14)
Puede demostrarse que:
lim [1 + 1/(m/j)] ( m / j ) = e
m ®¥
donde e es la base de los logaritmos naturales (e = 2.7182818…)
De manera que, cuando m ® ¥, la (14) es:
S = K
e j t
(15)
que nos da el valor futuro (S) de una magnitud inicial (K) creciendo a una tasa anual j con la condición de capitalización continua. De la (15) se pueden deducir las siguientes:
K = S
e - j t = S / e j t
(16)
j = ln
(S/K) / t
(17)
t = ln
(S/K)/
j
(18)
3. ANUALIDADES
El concepto de anualidad corresponde a una serie de flujos de dinero (usualmente de igual valor) que se producen a intervalos regulares de tiempo (por ejemplo, meses, años, etc) y durante un plazo completo determinado.
Cuando los flujos regulares se producen al final del intervalo correspondiente, se dice que se trata de un problema de anualidades ordinarias (o vencidas) y cuando los flujos se generan al principio del intervalo, se llaman anualidades anticipadas. Por otro lado, cuando se conoce con exactitud el momento de inicio y (o) finalización de los flujos monetarios, se trata de una anualidad cierta. Si el inicio y (o) finalización de los flujos es incierto, porque depende de la ocurrencia de un evento que no se puede predecir con exactitud (como la muerte de una persona), se trata de un problema de anualidad contingente.
Si los flujos son acumulados a interés compuesto alcanzan un monto S o valor futuro que se calcula según las siguientes fórmulas:
3.1. Anualidades ciertas ordinarias.
S = VF
= R [(1 + i )n - 1 ] / i
(19)
donde S es el monto de la operación, S = VF el monto o valor futuro, i la tasa de interés por periodo, R es el flujo regular de pagos y n el número de pagos (y periodos). Por simple despeje se deducen las siguientes:
R
= S i / [(1 + i )n -
1]
(20)
n
= ln [ 1 + (S/R) i ] / ln (1 +
i)
(21)
La tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por prueba y error. Las calculadoras financieras incluyen una función que permite encontrar fácilmente la tasa de interés.
Por su parte, el valor presente (VP) de la
anualidad se obtiene fácilmente de (19) descontando el valor futuro durante n
periodos a la tasa i. Esto es:
VP
= A = S / (1 + i )n =
R [1 - (1 + i )-n
] / i
(22)
y de ésta se obtienen las siguientes:
R =
A i / [ 1 - (1 + i )-n
]
(23)
n
= - ln (1 - Ai/R ) / ln (1 +
i) (24)
Tampoco aquí la tasa de interés puede ser despejada y debe encontrarse por prueba y error.
3.2. Anualidades ciertas anticipadas.
S = VF = R [(1 + i )n+1
- (1 + i)] / i (25)
A
= VP = R [ (1 +i) - (1 + i)-(n-1) ] /
i (26)
R
= S i / [(1 + i )n+1 - (1 + i)]
(27)
R
= Ai / [(1 +i) - (1 + i)-(n-1) ]
(28)
n
= { ln [ (1 +i)+ (Si/R) ] / ln (1 + i)} - 1
(29)
n
= 1 - { ln [ (1 +i) - (Ai/R) ]} / ln (1 +
i) (30)
La tasa de interés se calcula por prueba y error.
4. MÉTODO DE AMORTIZACIÓN Y DEPRECIACIÓN.
En términos generales se entiende por amortización cualquier modalidad de pago o extinción de una deuda. Aquí haremos referencia a la más común de estas modalidades. La extinción de una deuda mediante un conjunto de pagos de igual valor en intervalos regulares de tiempo. En otras palabras, este método de extinguir una deuda tiene la misma naturaleza financiera que las anualidades. Los problemas de amortización de deudas es quizá la principal aplicación práctica del concepto de anualidad.
Si se conoce el valor futuro de la deuda que se desea pagar, entonces se aplica la fórmula (19) o la (25) dependiendo del caso. Si conocemos el valor presente de la deuda, entonces la (22) o la (26) son las fórmulas aplicables.
4.1. Tabla de amortización.
La tabla de amortización es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción completa de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de interés y número de periodos), se inicia la tabla con el saldo inicial de la deuda, se desglosa el pago regular en intereses y pago de principal, se deduce este último del saldo de la deuda en el periodo anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último periodo de pago. Si los cálculos se han hecho correctamente, se verá que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último periodo, el principal de la deuda deber ser cero.
4.2. Depreciación de un bien de capital.
Un bien de capital físico (edificios, maquinarias, equipo de cualquier tipo) sufre con su uso una pérdida gradual de valor. Estos tipos de activos pueden perder valor no sólo por su uso, sino también porque se vuelven tecnológicamente obsoletos. Este fenómeno de pérdida de valor se conoce como depreciación. Las empresas descuentan regularmente de sus beneficios una cierta cantidad para compensar esta amortización de sus bienes de capital. Existen diversos métodos utilizados por las empresas para llevar a cabo estos descuentos. Uno de ellos, el más simple, es el llamado lineal que consisten en descontar la pérdida sufrida por el bien a lo largo de sus n años de vida activa en n cantidades iguales.
Otro método es el de la constitución de un fondo de amortización, el cual consiste en un descuento regular que permita la acumulación de un fondo que sea suficiente para adquirir un activo de capital que sustituya al activo depreciado. en la medida que este fondo se acumula con intereses, el problema de encontrar el valor de la cuota de depreciación que se apartará de los beneficios de la empresa es, otra vez, un problema de aplicación simple de anualidades.
5. VALUACIÓN DE BONOS.
Existen en el mercado financiero dos tipos principales de bonos: (1) bonos que generan un flujo de dinero por concepto de interés durante su vida y (2) los llamados bonos "de descuento" o "cupón cero", que no producen ningún flujo de intereses. La ganancia para el que compra estos bonos está dada por la diferencia entre el precio de compra o de mercado y el precio que alcanza el bono al momento del vencimiento. Valuar (o valorar) un bono significa encontrar cuál sería su precio de mercado dados el valor del bono al vencimiento, el tiempo que resta para su amortización, los flujos de intereses que genere (si es que se trata de un bono con cupón) y el costo de oportunidad del dinero, la tasa de interés de referencia (que no tiene que ser -y generalmente no es- la tasa del cupón). En realidad, valuar un bono, encontrar cuál es su precio de mercado, no es otra cosa que encontrar el valor presente del mismo, dada la tasa de interés. Las fórmulas para obtener el VP de un bono son las siguientes:
5.1. Bono cupón cero (no generan ningún flujo de interés).
VP
= PV / (1 + i)n = PM
(31)
donde PV es el precio del bono al vencimiento, PM es el precio de mercado del bono, i es la tasa de interés de referencia (o costo de oportunidad del dinero en el momento de la valuación del bono) para cada uno de los n periodos. Usualmente, aunque no necesariamente, PV es el valor nominal o facial del bono.
En algunos casos conocemos el precio del bono, quizá porque sabemos a que precio se está negociando en los mercados. En ese caso, nuestra incógnita puede ser la tasa de interés implícita en el precio (el plazo del bono y su valor futuro son datos usualmente conocidos). La tasa de interés es igual a:
i = (PV
/ PM) 1/n - 1
(32)
5.2. Bono con cupón de intereses.
En este caso, el bono tiene un cupón que indica el monto de intereses que genera el bono a intervalos regulares de tiempo (un semestre, un año, etc.). Frecuentemente, el valor del cupón es igual a la tasa de interés nominal fijada en el momento de su emisión por el valor nominal del bono. En este caso, cada cupón ( C ) tendrá un valor igual a i PV (C = i PV). Ahora, el precio (o valor presente) del bono será:
PM = C1 /(1+i)+
C2 / (1+i)2 + C3 /
(1+i)3 +. . .+ (Cn + PV) / (1+i)n
(33)
Si los cupones son todos de igual valor (lo cual no ocurre necesariamente), la fórmula anterior puede simplificarse utilizando la fórmula del valor presente de las anualidades ordinarias para obtener el valor presente de los n cupones, luego:
PM
= C [1 - (1 + i )-n ]/i + PV /
(1+i)n (34)
A no ser que se trate de un bono de muy corta duración, el cálculo de las incógnitas es algo laborioso, especialmente si se trata de la tasa de interés que no puede ser despejada por medio del algebra y debe utilizarse algún procedimiento numérico sencillo. Afortudamente, las calculadoras financieras tiene incorporada una función (normalmente llamada CF, por cash flow)que calcula la tasa de interés y las otras variables del problema en cuestión de segundos. También los programas de hojas de cálculo (como EXCEL, LOTUS, etc.) tienen incorporadas las funciones financieras que permiten obtener el valor de las incógnitas.
La tasa de interés implícita en el precio de un bono es usualmente llamada tasa interna de rendimiento (TIR) o bien tasa de rendimiento al vencimiento. Existe una fórmula sencilla para calcular de manera aproximada la tasa de interés implícita en el precio de un bono que paga cupones de intereses. Esta fórmula es:
TIR = [ C + (PV
- PM) / T] / [(PV + PM) / 2]
(35)
donde C es el valor de los cupones y T el plazo que resta para el vencimiento del bono.