Os problemas de triângulos mais comuns e importantes são aqueles em que, a partir de alguns lados e ângulos conhecidos, queremos achar os demais lados e ângulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relações entre esses elementos usualmente não são algébricas. Por exemplo, no caso de um triângulo qualquer a relação entre os lados do mesmo não é algébrica, a não ser no caso especial de triângulos retângulos ( para os quais vale o teorema de Pythagoras ).
Contudo, introduzindo a função trigonométrica co-seno, podemos facilmente achar relações algébricas entre os lados e os cos dos ângulos do triângulo, conforme nos diz o teorema dos co-senos, em notação clássica :

Com tais relações, por exemplo, conhecendo b, c e A, o valor de a será facilmente obtido a partir de uma extração de raiz quadrada precedida da determinação do cos A.

Essa, em essência, foi a idéia de Hipparchos e é tão simples que poucos se dão conta de sua genialidade. Com a introdução de funções trigonométricas, ele não só viabilizou achar relações entre lados e ângulos de triângulos, mas tornou algébricas essas relações. Esse artifício de cálculo tem um preço: é preciso construir tabelas das funções trigonométricas.
 

Hipparchos introduziu, em verdade, uma única função trigonométrica: a função corda, conforme mostrado na figura abaixo. Dado um círculo de raio R, a função corda associa a cada ângulo A de vértice no centro do círculo o valor da medida da respectiva corda geométrica:

Outras peculiaridades:

• o valor da corda depende do raio do círculo usado
• esse círculo era o círculo que circunscrevia o triângulo a resolver

EXEMPLO:
Tomando círculo de R = 8 metros, mostre que:
corda 60° = 8 m
corda 90° = 11.3137 m 

A TABELA ORIGINAL DE HIPPARCHOS 150 AC

Sua tabela dava cordas de 7.5° em 7.5°, desde zero graus até 180 graus. Para conseguir isso, ele baseou-se em resultados equivalentes à nossa fórmula do seno do meio ângulo e a fórmula do seno da soma de dois ângulos:

• calculou sucessivamente crd 60° , crd 30° , crd 15° , crd 7.5°
• calculou a tabela propriamente dita, que dava a corda para os ângulos de 7.5 ° até 180 ° , com passo de 7.5°.

A TABELA MAIS EXATA DE PTOLEMAIOS C. 150 dC

É uma tabela mais útil, pois dá a corda de meio em meio grau, desde zero até 180 graus. Sua estratégia de cálculo é, também, um aperfeiçoamento da de Hipparchos:

• usando o hexágono e o pentágono, obteve a crd de 60 e 72 graus
• Usando a expressão da corda da diferença, obteve a corda de 72° - 60° = 12°
• trabalhando como Hipparchos, obteve sucessivamente: crd 6° , crd 3° , crd 1.5° e crd 0.75°
• obtém a crd 1° usando que se 0 < A < B < 180° então crd B : crd A : : B : A
• pelo meio-arco, calcula a crd 0.5° desde a crd 1°
• finalmente obtém, pela regra da crd da soma, as cordas de zero até 180 graus, de meio em meio grau