1 Einführung
Viele Jahrhunderte reichte für die Menschheit das dezimale Zahlensystem, mit dem es möglich war leichtverständlich zu zählen und zu rechnen. Der Vorteil dieses Systems bestand darin, daß zum leichteren Verständnis des Rechnens auch die Finger benutzt werden konnten. Doch mit der Entwicklung von Rechenmaschinen begann ein neues Zeitalter. Auf Grund von verschiedenen Technologien entstanden plötzlich viele verschiedene Zahlensysteme. Die bedeutendsten sollen nun im folgenden Abschnitt beschrieben werden.
Um bei der Schreibweise von verschieden Zahlensystemen nicht durcheinander zu kommen, erhält jede Zahl, die verwechselt werden könnte, ihre Basis als Index angehangen. Zum Beispiel erhält jede Dezimalzahl eine kleine 10.
Zahlensysteme haben die Aufgabe, Zahlenwerte möglichst einfach und übersichtlich darzustellen.  Da aber Technologien, wie z.B. die Digitaltechnik, größtenteils nur mit Dualzahlen funktionieren, muss mehr als nur das Dezimalzahlensystem zur Anwendung gebracht werden. Jedoch ist das Dezimalsystem das gebräuchlichste und soll deshalb auch zuerst erklärt werden. Die anderen Zahlensysteme sind grundsätzlich ebenso aufgebaut wie das Dezimalsystem und unterliegen den gleichen Regeln.

2  Zahlensysteme
2.1 Das dezimale Zahlensystem

Beim Dezimalsystem ist jeder Stelle eine Zehnerpotenz zugeordnet. So kann z.B. die Zahl 5643₍₁₀₎ in folgende Zehnerpotenzen zerlegt werden.

5^.103  + 6^.102  + 4^.101  + 3^.100 = 5643₍₁₀₎

Der Anteil, den eine Ziffer zum Zahlenwert beiträgt, hängt von der Stellung der Ziffer innerhalb der Zahl ab. Jede Stelle hat eine bestimmte Wertigkeit, die als Stellenwert bezeichnet wird. Die letzte Stelle bei den ganzen Zahlen hat die Wertigkeit 10⁰ = 1. Die Ziffern an jeder Stelle geben an, wieviel mal der Stellenwert zur Bildung des Zahlenwertes zu berücksichtigen ist. Das Dezimalsystem benutzt die zehn Ziffern von 0 bis 9. Eine Ziffer für die Darstellung des zehnfachen Wertes ist nicht erforderlich, weil die der Wertigkeit der nächsthöheren Stelle entspricht:
10 ^. 100 = 1 ^. 1000

Es können auch beliebige andere Zahlensysteme gebildet werden, wenn anstelle der Potenzen zur Basis 10 für die Stellenwerte die Potenzen zu einer anderen ganzzahligen Basis verwendet werden. Allerdings dürfen dann nie mehr Ziffern zur Zahlenbildung verwendet werden, als die Zahl der Basis angibt. Es muss weiterhin darauf geachtet werden, daß immer mit der Ziffer 0 begonnen wird. Zum Beispiel hat das Dezimalsystem die Basis 10, was auf die Verwendung von 10 Ziffern hindeutet, nämlich die 0,1,2,3....,8,9.

2.2 Das duale Zahlensystem

Bei diesem Zahlensystem werden Zahlenwerte in Potenzen zur Basis 2 ausgedrückt. So kann z.B. die Zahl 10011₍₂₎ in folgende Zweierpotenzen zerlegt werden.
10011₍₂₎ = 1 ^. 2⁴ + 0 ^. 2³ + 0 ^. 2² + 1 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ =  19₍₁₀₎
An diesem Beispiel wird deutlich, daß die Zerlegung in Potenzen auch zum Umwandeln in Dezimalzahlen genutzt werden kann. Um jedoch Dezimalzahlen in Dualzahlen umzuwandeln muss die Dezimalzahl stets durch zwei geteilt werden. Der dabei entstehende Rest ergibt die Dualzahl.

Beispiel:   19₍₁₀₎ -> 10011₍₂₎

19 : 2   = 9  -> Rest: 1
9 : 2     = 4  -> Rest: 1
4 : 2     = 2  -> Rest: 0
2 : 2     = 1  -> Rest: 0
1 : 2     = 0  -> Rest: 1

Als erstes entsteht als Rest die niederwertigste Stelle der Zahl, welche in der Digitaltechnik auch als LSB          ( least significant Bit) bezeichnet wird. Bei der letzten Teilung, die als Ergebnis Null hat, entsteht als Rest die höchstwertigste Stelle der Zahl, die in der Digitaltechnik auch als MSB ( most signifcant Bit ) bezeichnet wird.

Die größte Bedeutung findet das Dualzahlensystem in der Digitaltechnik, weil in dieser Technologie die Zahlen nur durch elektrische Spannungswerte angegeben werden können. Um diese Technologie so eindeutig wie möglich zu gestalten, werden nur zwei Spannungswerte zur Darstellung genommen. Der Wert „keine Spannung“ entspricht der Dualzahl 0 und der Wert „Spannung“ wird der Dualzahl 1 zugeordnet. Somit ist die Möglichkeit gegeben, mathematische Probleme mit Hilfe von elektronischen Schaltungen zu lösen.
Der Nachteil des Dualzahlensystems besteht jedoch darin, dass bei großen Zahlenwerten auch sehr lange Dualzahlen entstehen. Zum Beispiel würde die Dezimalzahl 100.000 die Dualzahl 11000011010100000 ergeben.

2.3 Das hexadezimale Zahlensystem

Bei diesem Zahlensystem werden Zahlenwerte in Potenzen zur Basis 16 ausgedrückt. Daraus ergibt sich, daß auch 16 Ziffern vorhanden sein müssen, nämlich von 0 bis 15. Um die Ziffern von der 10 bis zur 15 nicht mit zwei einstelligen Ziffern zu verwechseln wurde festgelegt, daß diese Zahlen in Buchstaben ausgedrückt werden:
10 = A ;  11 = B ;  12 = C ;  13 = D ;  14 = E ;  15 = F
Damit kann nun die hexadezimale Zahl 5FA3(16) in folgende Zehnerpotenzen unterteilt werden.

5FA3₍₁₆₎ = 5 ^. 163 + 15  ^. 162 + 10 ^. 161 + 3 ^. 160 = 24483₍₁₀₎

Auch bei diesem Beispiel ergibt die Zerlegung in Zehenrpotenzen wieder den dezimalen Zahlenwert. Die Umwandlung von einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl ist ähnlich der Umwandlung in eine Dualzahl. Der Unterschied besteht darin, daß dabei nicht durch 2 sondern durch 16 geteilt wird.
Im folgenden Beispiel wird nun die Zahl 24483₍₁₀₎ in die Hexadezimalzahl 5FA3₍₁₆₎ umgewandelt.

24483 : 16       = 1530 Rest: 3
1530 : 16         =  95     Rest: 10(A)
95 : 16              = 5        Rest: 15(F)
5 : 16                = 0        Rest: 5

Bei der ersten Division entsteht die niederwertigste Stelle der Zahl. Bei der letzten Division, die als Ergebnis Null hat, entsteht somit die höchstwertigste Stelle des Zahlenwertes.
Das Umwandlungsverfahren von einer Dezimalzahl in ein beliebiges Zahlensystem kann immer durchgeführt werden in dem durch die Basis des Zielsystems geteilt wird. Der dabei entstehende Rest ergibt immer die Zahl im Zielsystem, beginnend mit der niederwertigstem Stelle in der Zahl.
Das Hexadezimalsystem wird überwiegend in der Computertechnik verwendet. Computerinterne Werte, z.B. Register oder Speicheradressen, werden fast immer in hexadezimaler Schreibweise angegeben, weil binäre Werte zu lang wären und dezimale Werte zu „krumme“ Zahlen ergeben würden. Wenn z.B. die letzte Speicheradresse in einem 1Mbyte Speicher angesprochen werden sollte, dann würde das den dualen Wert 11111111111111111111 oder den dezimalen Wert 1048575 benötigen. Wird das hexadezimale System verwendet, dann wird nur die Zahl FFFFF benötigt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis