帕斯卡三角形

帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

帕斯卡三角形(Pascal's Triangle) 由中國人楊輝首先提出,

但是Pasca是第一位將其推廣並作深入研究的第一人.

如何建立帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
Sums of Rows(各列元素和)	Prime Numbers(質數)	Hockey Stick(曲棍形)
Magic 11's(神奇11)	菲波拿契數列	三角數
四角數	圓上點線面

如何建立帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

帕斯卡三角形 (Pascal's Triangle)的頂端是 1,
視為( row 0). 第1列( row 1 )(1 & 1)兩個1,
這兩個1是由他們上頭左右兩數之和
(不在三角形內的數視為 0). 依此類推
產生第2列( row 2): 0+1=1; 1+1=2; 1+0=1.
第3列( row 3): 0+1=1; 1+2=3; 2+1=3; 1+0=1.
循此法可以產生以下諸列.

每列由左而右各數,分別命名為第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.

nCr =

n!
--------
r!(n-r)!

例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是

4!
--------
1!(4-1)!
= 4

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

The Sums of the Rows (各列元素和):第 n 列元素合是 2ⁿ .

2⁰ = 1
2¹ = 1+1 = 2
2² = 1+2+1 = 4
2³ = 1+3+3+1 = 8
2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16

Prime Numbers :如果有一列的第一元素是質數,除了前後元素之外,多可以被此質數除盡。例如, 第7列row7 (1 7 21 35 35 21 7 1) 7, 21, and 35 多可被 7整除.

Hockey Stick Pattern (曲棍形)

從某列的前(後)元素(1)開始向下朝帕斯卡三角形內,任劃一對角線(長度自訂),則對角線所經過各數相加之和恰等於對角線最後一個數下方的數(位於下一列,但不在對角線上)。你可以參考右圖:
1+6+21+56 = 84
1+7+28+84+210+462+924 = 1716
1+12 = 13

Magic 11's:如果將每列的元素,由左而右,當作一個多位數整數,此數恰等
於11的 n次方( n 是列數),如下表:

列數	指數式	=	計算值	列展開式
第0列	11⁰	=	1	1
第1列	11¹	=	11	1 1
第2列	11²	=	121	1 2 1
第3列	11³	=	1331	1 3 3 1
第4列	11⁴	=	14641	1 4 6 4 1
第5列	11⁵	=	161051	1 5 10 10 5 1
第6列	11⁶	=	1771561	1 6 15 20 15 6 1
第7列	11⁷	=	19487171	1 7 21 35 35 21 7 1
第8列	11⁸	=	214358881	1 8 28 56 70 56 28 8 1

Fibonnacci's Sequence (菲波拿契數列)

Fibonnacci's Sequence 出現在Pascal's Triangle裡.如右圖: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233, . . . .是菲波拿契數列(Fibonnacci's Sequence) . 以下是求取菲波拿契數列(Fibonnacci's Sequence) 第N個數的公式:

輸入 N: 結果: