RESPUESTA
TRANSITORIA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema de segundo orden como G(s) = w2 / (s2 +
2 dws + w2) donde es importante notar que w (omega) es la
frecuencia natural no amortiguada, y d (dseta) es la relación de amortiguación,
y, el producto de wd se le conoce como s (sigma) atenuación.
El
comportamiento dinámico del sistema se puede describir en términos de los parámetros
w y d. Si 0 < d < 1, se dice que el sistema está subamortiguado y su
respuesta transitoria es oscilatoria. Si d =1, el sistema está críticamente
amortiguado. Y para d > 1, se tiene un sistema sobreamortiguado y la
respuesta transitoria no oscila.
a) Respuesta
al impulso unitario.
La
respuesta al impulso unitario es:
donde
la respuesta y(t) para 0 <= d < 1 es:
d=0.5 w=1
El
sobreimpulso máximo se produce cuando
El
sobreimpulso máximo es
En
el caso de d > 1
b)
Respuesta al escalón unitario.
La
respuesta al escalón unitario es:
Para
el caso subamortiguado ( 0 < d < 1)
wd= frecuencia natural amortiguada
La
señal de error es:
En
el caso del amortiguamiento crítico (d =1)
En
el caso sobreamortiguado (d >1)
d=2
TIEMPO
DE CRECIMIENTO (seg).- Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente
de 0 a 100%, o en
sistemas
sobreamortiguados, de 10 al 90%.
TIEMPO
DE PICO (seg).- es el requerido para que la respuesta alcance el primer pico
de sobreimpulso.
tp=1
SOBREIMPULSO
MAXIMO (%).- es el valor pio máximo de la curva de respuesta medido desde
la unidad.
Mp=19.996
TIEMPO
DE ESTABLECIMIENTO (seg).- Es el tiempo requerido para alcanzar y mantenerse
en el rango del
5%
del valor final absoluto.
ts=1.864
La respuesta transitoria de un sistema de control
depende de la posición de las raíces de la ecuación característica del
sistema. En un sistema de control continuo las especificaciones de la respuesta
temporal se dan en términos del sobrepico máximo (Sp), tiempo de
establecimiento (ts), y tiempo de subida (tr). Para el sistema de
segundo orden siguiente:
Las especificaciones son.
Las expresiones anteriores nos permitirán determinar los parámetros
z
y wn, en función de Sp ,ts y tr los cuales nos darán la posición de los polos de la
función de transferencia del sistema en el plano s para que se cumplan unas
especificaciones dadas.
Lo anteriormente indicado es valido para sistemas continuos
en el tiempo, para poder hacer lo mismo en los sistemas discretos, debemos tener
en cuenta la relación existente entre el plano s y el plano z, esta relación
viene dada por :
Un sistema con un par de polos conjugados complejos en el
plano s ,
tendrá un sobrepico , tiempo de respuesta y tiempo de subida
determinados, entonces aplicando
, obtenemos las raíces del plano z del sistema discreto
correspondiente.
Estas raíces del plano z corresponden con las del plano s
según se muestra en la figura 1.
Figura 1
Ejemplo:
Un par de raíces
s= -2 + 4j pertenecientes a un sistema de segundo orden , harían que
este sistema presente las siguientes especificaciones es la respuesta
transitoria.
Sp=0.2
tr=0.5 seg.
ts=2
El sistema
discreto correspondiente tendría unas raíces en:
y presentaría
el sobrepico y tiempos de subida y establecimiento iguales al sistema continuo.
EJERCICIO.
En la
figura se muestra el diagrama de bloques de un servomecanismo. Determinar los
valores de K y b para que la máxima sobreoscilación de la
respuesta a un escalón unitario sea del 15%, y que el tiempo de subida sea de
1.2 segundos.
Solución:
Siempre que
se dan especificaciones en el dominio del tiempo (sobreoscilación, tiempo de
subida, tiempo de establecimiento, ...), hay que poner el sistema en alguna de
las formas que hemos estudiado: sistemas de primer orden o sistemas de segundo
orden. Si tenemos un sistema de orden superior, se aproxima a un sistema de
segundo orden.
En el
sistema de la figura, vamos a obtener la función de transferencia en bucle
cerrado la que relaciona R(s) con Y(s)). Poniendo
las relaciones entre las variables en la figura:
Sustituyendo:
Y la función
de transferencia en bucle cerrado T(s) queda:
Vemos que
es un sistema de segundo orden. Para los sistemas de segundo orden se tienen
expresiones
de las especificaciones en el dominio del tiempo:
•
Sobreoscilación (en %): 
• Tiempo
de establecimiento: 2%: , 5%: 
• Tiempo
de subida (aproximación):
Los
coeficientes y corresponden al factor de amortiguamiento y a la frecuencia
natural,
y se
obtienen de poner el sistema de segundo orden en la forma estándar:
Por lo
tanto, sólo queda identificar los coeficientes de nuestro sistema con los de la
forma
estándar,
y aplicar las restricciones.
Las
restricciones son las siguientes:
Y ya puedo
obtener los valores de K y b que cumplen las especificaciones:
Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Editorial Prentice Hall. 1977.
Sistemas de Control automático. Benjamín C.Kuo. Prentice Hall. 1996.
Retroalimentación
y sistemas de control. J.J. Distefano III y otros. McGraw-Hill (serie Shaum),
1972.
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