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Las matemáticas no son únicamente números, como muchos creerían; por supuesto que algunas ramas de ella, como lo son las ecuaciones en todas sus variedades (diferenciales, integrales, algebraicas, en diferencias), la aritmética, el álgebra, el análisis numérico, la estadística; y otras más especializadas como la teoría de números, tratan con ellos. Pero en matemáticas, también hay divisiones que no tratan con números sino con objetos abstractos, pilares fundamentales de las otras ramas: la topología, en todas sus variedades, ciertas geometrías, con enfoque no analítico y el análisis, donde se recurre a presentación de teoremas y demostraciones, las cuales se dan con palabras, a veces tan específicas que el significado de la misma no nos dice nada hasta que no hemos comprendido su concepto dentro de la materia. Hay un programa de geometría, llamado Cabri, diseñado por un matemático de Québec, -menciono esto como precedente a la FIL, cuyo invitado de este año es esta provincia francófona canadiense- con el cual se pueden explorar las propiedades de los cuerpos geométricos, sin necesidad de recurrir a los números.
Entonces hasta ahora tenemos dos puntos donde no se utilizan los números en las matemáticas: en geometría y en las demostraciones. Como la geometría se basa en figuras, patrones y estructuras visuales, dejaremos de lado esta, para centrarnos en el otro punto: la demostración en matemáticas.
Las matemáticas han sido consideradas como el lenguaje universal, estructura del universo, forma mediante la cual pueden describirse ciertos acontecimientos o fenómenos de la naturaleza, sino es que todos, según el esfuerzo de los creyentes en la Teoría del Todo, aquella que vendrá a unificar los criterios tanto del macro como del micro universo, en una ley que deberá ser sencilla, elegante, verdadera.
Para describir los objetos (abstractos o concretos, reales o imaginados) y sus comportamientos, es necesario hablar un lenguaje en común con otro grupo de personas con las cuales se establece la comunicación. Entonces, podemos afirmar que un lenguaje en común es indispensable para el entendimiento y expresión de lo pensado; de hecho, hay quienes hablan de cómo la historia del pensar humano puede reducirse a la de las relaciones entre las palabras y el pensamiento. Al principio el signo y el objeto representado eran lo mismo; luego, los hombres advirtieron que entre las cosas y sus nombres se abrió un abismo; fue cuando se dio la primera tarea del pensamiento: fijar un significado preciso y único a los vocablos.
La palabra tiene cierto acomodo interno, una estructura inherente, permutable, como en el caso del hebreo, donde la misma palabra puede tener significados totalmente opuestos, con el simple hecho de cambiar el acomodo de los signos: oneg, placer; nego, dolor. Así, también dentro de las palabras hay matemáticas, un acomodo científico, universal.
Como dijo Wilbur Marshall Urban : La esencia del lenguaje es la representación, de un elemento de experiencia por medio de otro, la relación bipolar entre el signo y el símbolo y la cosa significada o simbolizada, y la conciencia de esa relación.
Claro que la experiencia en matemáticas no se da siempre de forma empírica, sino que puede ser un encontrarse con elementos imposibles de visualizar, como los objetos en dimensiones mayores a 4, sólo por dar un ejemplo. Como decía Ardí, uno de los mejores matemáticos del siglo pasado: Creo que la realidad matemática está fuera de nosotros, que nuestra función es descubrir u observarla, y que los teoremas que probamos, y que describimos tan grandilocuentemente como“nuestras creaciones” son simplemente las notas de nuestras observaciones. Lo mismo pasa en la poesía, las experiencias pueden ser cotidianas o abstractas, pero lo importante aquí, no es el hecho, sino la significación, la manera de codificarlo y traducirlo para capturar el instante, la belleza del momento que se escapa, del movimiento que no cesa: signo que se vuelve símbolo. Escribir, leer y deambular por la realidad es convertirla en un signo, imponerle significados que circunscriben al hablante y al referente en un territorio discursivo sobrejaloneado.
Una vez comprendida la necesidad de tener un lenguaje en común, ahora podemos preguntarnos ¿cuál es, entre todos los lenguajes, el mejor? Acaso no haya una respuesta única, pero si diversos puntos de vista, según sea la situación geográfica e histórica de los individuos, o grupos de individuos, mejor dicho. Bourbaki intentó, de alguna manera, bastante extensa por cierto, dar respuesta al problema del lenguaje en matemáticas. Nicolás Bourbaki es uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX: de nacionalidad francesa, nombre griego y no existente. Si, Bourbaki representa a un grupo de matemáticos franceses que trabajan bajo este pseudónimo desde 1939, con el propósito de escribir un tratado que rescriba a las matemáticas. Al final de uno de sus artículos, aparecido en The Journal of Symbolic Logic en 1949 concluye: Afirmo que puedo construir sobre estos fundamentos el cuerpo entero de las matemáticas de hoy día y que si hay algo original en mis procedimientos estriba solamente en el hecho de que, en lugar de contentarme con dicha afirmación, procedo a demostrarla del mismo modo que Diógenes probó la existencia del movimiento, y mi demostración llegará a ser más y más compleja a medida que mi tratado vaya creciendo. Bourbaki pretende dar un tratamiento minucioso a los temas matemáticos, al grado de dar una definición del número 1, tras una preparación de casi 200 páginas, en términos de símbolos extraordinariamente abreviados y condensados, explicando que la forma sin abreviar de la definición en su sistema de rotación requeriría varias decenas de millares de símbolos. Muchos de los términos condensados que utilizamos los matemáticos hoy día se deben al esfuerzo de Bourbaki, como los términos, inyectivo y sobreyectivo, al hablar de funciones. Veamos un ejemplo.
Definición. Se dice que una función f : A → B es inyectiva si para cada par de puntos distintos de A, sus imágenes por f son distintas.
En pocas palabras, si dos cosas distintas, una vez transformadas, siguen siendo distintas, entonces han sido transformadas por una regla de asignación que cumple la propiedad inyectiva, o uno a uno, como se le conocía antes de Bourbaki. Para comprender el significado de este término, inyectividad, que es una propiedad de las funciones, necesitamos saber qué es función, dominio, rango, conjunto, imagen. Así nos damos cuenta de que las matemáticas van creando su propio lenguaje, a partir de sus necesidades.
En poesía sucede lo mismo. El lenguaje se renueva con el paso del tiempo, las modas y costumbres, los viajes; hasta hay quienes inventan sus propias palabras, llamadas neologismos, y otros que cambian el orden de las palabras, para formar nuevos significados. Tenemos la frase famosa, acuñada por su autor: Salvador Dalí, Avida dollars: mismas letras, diferente acomodo.
Además de las palabras, es importante la estructura, lo que no se dice pero se sugiere, la forma que alberga al fondo: contenido y contenedor.
La historia humana evoluciona de una manera conjunta; los cambios no se dan una sola área del saber, sino que van acompañados: arte y ciencia, una misma historia. A finales del siglo XIX, nacen las geometrías no euclidianas para dar paso, más adelante, a los adelantos en física, especialmente a la Relatividad. Al mismo tiempo, al ponerse en duda las estructuras que habían regido durante tantos años, la poesía también se ve influenciada por la ciencia: los poemas dejan su rigidez, para proponer nuevas estructuras. Rimbaud y Mallarmé son a la poesía lo que Lobachevsky y Riemman a las matemáticas: la linealidad se pone en duda. No es tanto aquello que dice el poeta, sino lo que va implícito en su decir, su dualidad última e irreductible, lo que otorga a sus palabras un gusto de liberación… La palabra poética jamás es completamente de este mundo: siempre nos lleva más allá, a otras tierras, a otros cielos, a otras verdades… al hablarnos el poeta nos habla de otra cosa: de lo que está haciendo, de lo que está siendo frente a nosotros y en nosotros. Nos habla del poema mismo, del acto de crear y nombrar y más: nos lleva a repetir, a recrear su poema, a nombrar aquello que nombra; y, al hacerlo, nos revela lo que somos.
El matemático, como el poeta, no solo nos revela ciertas verdades, sino que lo hace de manera tal que, al hacer una demostración, hay algo implícito, mucho más allá de lo que se dice. Porque cada concepto hace referencia a un cúmulo de conocimientos ya almacenados, a otras ramas de la misma matemática. Podemos dar como ejemplo a Euler y a Gauss, dos de los matemáticos más prolíficos e importantes de la historia: mientras que Euler desglosaba cada paso de sus demostraciones, dando tantos detalles como le eran posibles, Gauss intentaba ocultar sus maneras de llegar a la demostración; si uno toma un texto de estos autores, resulta mucho más placentero leer a Euler, por la belleza de lo que dice, contra el hermetismo de su colega.
Al hablar de la estructura, es indispensable remontarnos a la historia. En un principio, el arte y la ciencia no existían de manera independiente, sino que formaban un raudal único de conocimientos, mismo que se entretejía con las formas antiguas de religión, llámese chamanismo o brujería. Al haber compartido cuna, la poesía, reina de las artes, y las matemáticas, reina de las ciencias, siguen manteniendo un vínculo de fondo, una estructura algebraica coherente e imaginativa, porque ambas no son más que especulación, creencia en ciertos hechos o ideas, ensoñación de realidades alternas, independientes de la vida cotidiana, enaltecedoras de la misma o, como diría Cezanne, una armonía paralela a la de la naturaleza. Entonces, arte y ciencia no son más que hijas de la misma madre: la creencia o especulación, llamada religión en nuestros días.
La poesía no narra los hechos como sucedieron, sino como deberían ser; las matemáticas también intentan decir cómo deberían ser los comportamientos mediante sus teoremas fundamentales, especulan sobre el futuro en sus leyes de probabilidad, recogen la historia y la asimilan como un tratado universal, en su definición de números y conceptos.
Las matemáticas son, por excelencia, las creadoras de estructura, las que dan la forma y permiten sustentar teorías más fuertes en otros ámbitos de la ciencia, como pasa en la física actual, donde muchas veces se prefieren las teorías que pueden ser expresadas en fórmulas sencillas, bellas y acaso verdaderas, a aquellas que son representadas por fórmulas largas y ambiguas; entonces, un patrón de decisión para decidir si algo es matemáticamente correcto, puede ser la belleza de su estructura. Según Hardy, Los patrones del matemático, como los del pintor o los del poeta, deben ser bellos, las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar de una manera armónica. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para matemáticas feas. Tomemos por ejemplo indirecto, las fórmulas que han sustentado las teorías del último siglo, desde la Relatividad General, la Física Cuántica hasta la más moderna Teoría M, que acopla las teorías de supercuerdas, las cuales han mostrado tener una belleza inherente, una rigidez en su estructura tan fuerte, que han sido aceptadas, aún antes de su factual demostración empírica. La teoría del Todo, aquella que unificará los conceptos físicos en una sola teoría, tendrá que ser fuerte en su estructura, así como bella al ser interpretada. O más allá, de manera más ambiciosa, como diría Thoreau, gran escritor americano: Las afirmaciones más bellas y distintas de cualquier verdad deben tomar al final una forma matemática. Podríamos simplificar las reglas de filosofía moral y las de la aritmética, de manera que puedan ser expresadas en una sola fórmula. El único requisito para entender estas fórmulas, es tener un cierto conocimiento en la materia, por lo que, esta belleza no puede ser apreciada por todos; pero ¿acaso no sucede lo mismo con ciertas obras de arte, como lo es el minimalismo o el avant garde?
Ahora, vayamos a la poesía. La estructura en el poema, objeto de la poesía, porque poesía es el arte universal, lo efímero en el hombre, y poema, el objeto sobre el papel, la letras que se unen, de diversas maneras, ya sea de forma racional e intencionada o libre y automática, como era el caso con los surrealistas, marca, hasta cierto punto, la belleza del mismo. Tomemos como ejemplo, el poema Piedra de Sol, de Octavio Paz, al cual hago referencia por hacer honor y justicia a este gran poeta mexicano, ganador del premio Nobel de Literatura, y al cual a veces se lee demasiado poco. Este poema, referente al calendario azteca, tiene, en su edición de 1957 la siguiente nota: En la portada de este libro aparece la cifra 584 escrita con el sistema maya de numeración; asimismo, los signos mexicanos correspondientes al día 4 Olín (Movimiento) y al día 4 Ehécatl (Viento) figuran al principio y al final del poema. Quizá no es inútil señalar que Piedra de sol está compuesto por 584 endecasílabos. Este número de versos es igual al de la revolución sinódica del planeta Venus, que es de 584 días. Los antiguos mexicanos llevaban la cuenta del ciclo venusino a partir del día 4 Olín; el día 4 Ehécatl, 584 días después, señalaba la conjunción de Venus y el Sol, fin de un ciclo y comienzo de otro… A continuación los versos iniciales del poema:
un sauce de cristal, un chopo de agua,
un alto surtidor que el viento arquea,
un árbol bien plantado mas danzante,
un caminar de río que se curva,
avanza, retrocede, da un rodeo
y llega siempre
Otro objeto en común en cuanto a las matemáticas, la poesía y su estructura está en la combinatoria y las permutaciones: cómo acomodar cierto número de objetos en ciertas posiciones o lugares distintos. Jean Lescure, perteneciente al grupo francés de literatos-matemáticos OULIPO, inventó un procedimiento que consiste en reemplazar cada sustantivo con el séptimo siguiente en el diccionario. Con este método, llamado n+7, se escoge un texto y un diccionario, se identifican los sustantivos en el texto y se van reemplazando, cada uno, por el que sigue siete sustantivos más adelante en el diccionario.
A continuación presento una traducción del inglés de un texto desarrollado por Lescure utilizando The Living Language Common Usage Dictionary: English-Russian, para reescribir el inicio del libro del Génesis:
En una banca Dios creó la gallina y la educación. Y la educación era sinfundamentos, y vacía; y la muerte cayó sobre la falsedad de la demanda. Y eldeporte de Dios se movió por la falsedad de la riqueza. Y dijo Dios, Hágase ellímite; y hubo límite.
Otro de los integrantes de OULIPO, Jaques Roubaud, escritor y matemático francés, tiene un poema titulado e, la constante matemática, que consiste en una complicada red de diversos textos interrelacionados de acuerdo con las reglas del juego japonés Go, a cada una de cuyas fichas equivalen aquí diversos poemas del libro. Estos poemas, a su vez, establecen entre sí otros vínculos ocultos como los que configuran, mediante una serie de catorce poemas un soneto de sonetos.
GO 68
cuatro
quien mira las dos mitades de la cáscara
verá cómo las bocas se acercan al espejo
intermedio las bocas de las tinieblas con rosas
la boca de los amantes sobre el cristal en harapos
pero la rosa de la noche sólo ve oscuridad
redondeada sobre el susurro de las cosas
la boca del amante no toca sino boca…
Pero ¿qué es Oulipo? Oulipo, (Ouvroir de Littérature Potentielle), Taller de Literatura potencial, es un grupo literario francés fundado en 1960 por François Le Lionnais (matemático) y Raymond Queneau (escritor), cuyas bases estan dadas por el surrealismo y el cual cuenta con las siguientes características:
Oulipo no es un grupo cerrado. Nadie puede ser corrido de Oulipo c.Nadie puede dejar de ser parte de Oulipo d.Una vez miembro, siempre se es miembro: aún los muertos pertenecen a Oulipo. Una excepción a esta última regla se da si el que buscar renunciar a Oulipo se suicida ante un oficial del grupo, y bajo las circunstancias de que diga que lo hace para dejar de pertenecer al grupo.
La segunda característica original de Oulipo está en las matemáticas: tulipa es un homenaje a Bourbaki. Oulipo se propuso, como se propusiera Bourbaki, reescribir las matemáticas enteramente y proveerlas con fundamentos sólidos basados en una sola fuente, la teoría de conjuntos, pero en la rama de las artes y el lenguaje.
Oulipo es un grupo literario compuesto de cuatro tipos de miembros:
Escritores que son matemáticos. Matemáticos que no son escritores Escritores y matemáticos Matemáticos y escritores.
El objetivo de Oulipo es inventar (o reinventar) las restricciones de una estructura formal y proponerla a entusiastas compositores de literatura. Los textos de Oulipo son consecuencias de axiomas matemáticos, de acuerdo con las reglas de deducción que los transforman en analogías de la serie de teoremas y corolarios con los cuales están construidos los textos matemáticos.
Tomemos un último ejemplo: el libro fundamental de Raymond Queneau, Cent Mille Millards de Poèmes, (1015 Poemas), el primer libro deliberadamente oulipiense, pone a la disposición simultáneamente todas las versiones que pueden ser construidas variando el orden elegido de los versos en los 10 poemas originales (sonetos).
Según David Bohm, físico de renombre mundial, Lo que desea [el científico] es hallar en la realidad en que vive cierta unicidad y totalidad, o integridad, lo que constituirá una especie de armonía considerada hermosa. En este aspecto, el científico quizá no se diferencie tanto del artista, que tiene como meta la creación de algo similar en su trabajo.
En la demostración hay belleza, además de verdad. Veamos el siguiente teorema, uno de los clásicos y más antiguos en la historia de las matemáticas, debido a Euclides. El teorema, a pesar de su sencillez, habla de lo infinito, aun sin conocerlo, además de seguir conservando su validez y belleza aun después de miles de años. La demostración de Euclides se hace por contradicción o reducción al absurdo.
Teorema. Existe una infinidad de números primos.
Demostración de Euclides. Suponemos que hay finitos, luego llegamos a una contradicción.
Hemos hablado de cómo los poetas y los matemáticos y, en general, toda la humanidad ha tenido un desarrollo paralelo. Los temas matemáticos siempre han interesado a la humanidad, independientemente de si los entiendan o no. Ahora veremos algunos autores que han mostrado ciertas ideas matemáticas en sus poemas, al compartir temas como lo son los patrones, las figuras, las formas, el infinito, las paradojas, las pruebas y contradicciones.
Vladimir Holan, uno de los mejores poetas checos del siglo XX, nacido en Praga en 1905, donde vive desde 1948 hasta su muerte en 1980 en un encierro voluntario, escribe en su poema Otoño I:
Sin embargo el aire se burla de los colores
y el menos amarillo es ya el amarillo mismo.
El cubo lleno de la memoria de la esfera.
¿Quién no sentiría nostalgia, pues, de una ruina?
Miroslav Holub, compatriota de Holan, además de poeta fue uno de los mejores inmunologistas de su país. Holub dice: Así, con respecto al uso de las palabras y las afirmaciones, la poesía y la ciencia se mueven en direcciones diferentes y casi opuestas. Pero no apuntan en mi opinión, a fines opuestos. Holub escribe sus poemas con el lenguaje científico de su profesión, tiene un libro de poemas titulado Aquiles y la Tortuga, por la clásica paradoja griega, que hace referencia al infinito, de donde tomamos el siguiente fragmento, que utiliza el conteo como forma poética.
Dos mil cigarros.
Cien millas
de pared a pared.
Una eternidad y media de vigilias
más blandas que la nieve.
Wislawa Szymborska, poeta nacida en Polonia en 1923 y ganadora del Nobel de Literatura en 1996, también se interesa por las matemáticas, al punto de haber titulado a uno de sus libros El gran número, de donde tomamos el siguiente fragmento:
Digno de admiración el número pi
tres punto uno cuatro uno.
Todas sus demás cifras también son inciales,
cinco nueve dos porque nunca se termina.
No se deja abarcar seis cinco tres cinco con la mirada,
ocho nueve con un cálculo,
siete nueve con la imaginación
o incluso tres dos tres ocho con una broma es decir una comparación
cuatro seis con nada
dos seis cuatro tres en el mundo.
Y este otro:
Cuatro mil millones de seres en esta tierra
y mi imaginación sigue siendo la misma.
No se le dan bien los grandes números.
Le sigue conmoviendo lo individual.
También tenemos a los más conocidos como Bertrand Russell, matemático y premio Nobel de Literatura; Omar Kayam, matemático, filósofo y poeta persa; Nicanor Parra, matemático y poeta chileno; Charles Dodgson, mejor conocido como Lewis Carroll, autor del famoso libro Alicia en el País de las Maravillas, escribió un poema titulado La Caza del Snark, mismo que escribió a partir de la última línea, hacia el principio.
Richard Feynman, uno de los mejores físicos de nuestro tiempo, quien también es pintor, escribe:
Me pregunto por qué? Me pregunto por qué?
Me pregunto por qué me pregunto?
Me pregunto por qué me pregunto por qué
Me pregunto por qué me pregunto?
Concluyo con el siguiente fragmento, de Octavio Paz, el cual habla de la poesía, pero en el cual podríamos perfectamente cambiar la palabra poesía por matemáticas y seguiría tener sentido: La poesía es conocimiento, salvación, poder, abandono. Operación capaz de cambiar al mundo…, es un método de liberación interior. La poesía revela este mundo; crea otro. Pan de los elegidos; alimento maldito. Aísla; une… Niega a la historia: en su seno se resuelven todos los conflictos objetivos y el hombre adquiere al fin conciencia de ser algo más que tránsito. Experiencia, sentimiento, emoción, intuición, pensamiento no-dirigido. Hija del azar; fruto del cálculo. Arte de hablar en una forma superior; lenguaje primitivo. Obediencia a las reglas; creación de otras.
Omar Rojas
Guadalajara, México
Correo electrónico: orojas@universo.com
Para saber más: Nicolás Bourbaki, Matemáticas y poesía, Jaques Roubaud, G. H. Hardy, Oulipo, Octavio Paz
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