Sobre el número en las sociedades, ¿podrán los patrones geométricos suplantar al número?

Contenido

Trabajo presentado en el XXXVI Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, en el área de Historia y Filosofía de las Matemáticas. Pachuca, Hidalgo.

Introducción.

1. Las matemáticas son, supuestamente, una ciencia universal, con leyes objetivas que se ajustan a la realidad; pero la verdadera ley universal es que todo es relativo, aun dentro de las matemáticas. El hombre ha buscado la mejor manera para interpretar la naturaleza, cambiando sus maneras según la cultura a la cual ha pertenecido y el tiempo en el que le tocara vivir. Cito: Las matemáticas no son físicas ni mentales, son sociales. Son parte de nuestra cultura, parte de nuestra historia ^[10]. (Reuben Hersh). Ahora estamos acostumbrados a pensar en fórmulas matemáticas como modelos descriptivos del universo pero, ¿realmente será la mejor aproximación o habrá maneras más simples de explicar la complejidad?

2. Todos saben que la naturaleza es bastante compleja, al grado que el hombre no ha podido descifrar muchos de sus misterios, tanto a nivel macro como microscópico, tanto en lo concreto, como el origen del universo o de la vida, hasta lo abstracto, como la existencia de objetos en n-dimensiones y las diferentes clases de infinitos que existen ¿Será que estamos utilizando las formas adecuadas? ¿Podrá la complejidad ser originada por algo bastante simple, con unos cuantos cálculos básicos, que se repiten por un cierto periodo de tiempo? Cito: Nada se pierde por no esforzarse en expresar lo inexpresable ¡Lo inexpresable, más bien, está contenido –inexpresablemente– en lo expresado!^[12] (Wittgenstein)

3. Me propongo exponer el punto de vista de algunos matemáticos y filósofos sobre el impacto del número y los patrones geométricos en las sociedades, así como el de estas en el hombre. Evolución del mundo, del hombre; de las matemáticas y su manera de ver la naturaleza. Cabe decir que, más que un trabajo completo, este no es más que una introducción a diversos temas que he ido explorando, dándome cuenta de que hay varios autores que han trabajado sobre estos puntos durante años y que, como ocurre con la ciencia y sus descubrimientos, siempre hay algo de especulación e intuición en la novedad.

Geometría y numeración en las sociedades: historia y actualidad.

1. Las matemáticas están absolutamente integradas con la civilización occidental, la cual conquistó y dominó al mundo entero. La única posibilidad de construir una civilización planetaria dependerá de nuestra capacidad para restaurar la dignidad de los perdedores; entonces, las etnomatemáticas son un paso hacia la paz. Esto hace de las etnomatemáticas una disciplina inusual porque intenta unir a la ciencia con la justicia social, ^[4] dijo Humberto D’Ambrosio, conocido como uno de los padres de las Etnomatemáticas, disciplina que estudia la antropología de varios métodos de medición, para enriquecer las matemáticas actuales con ideas de otras culturas.

2. Muchas culturas no occidentales han desarrollado complejos sistemas matemáticos, algunos de los cuales prevalecen hoy en día en algunas comunidades, como los mayas que utilizan el antiguo calendario para registrar su temporal de cosechas. Pero, ¿por qué es importante conocer los sistemas de otras culturas para nosotros, el occidente? Sencillamente porque las matemáticas occidentales no cubren las necesidades de todas las personas y no son siempre entendidas fácilmente por culturas fuera del supuesto progreso.

3. Por ejemplo, en la Sierra Norte de Jalisco, viven los huicholes en pequeñas comunidades, difíciles de acceder más que en avioneta, quienes tienen una gran noción de la geometría. Recientemente tuve la oportunidad de estar en una de estas comunidades, San Miguel, o Tsikwaita, en su lengua, para enseñar el programa de Matemáticas IV para preparatoria abierta a un grupo de 5 estudiantes. Allí pude constatar cómo las mujeres tienen unos bordados magníficamente simétricos, además de hermosos, pero se enfrentaban a un serio apuro al tratar de sumar una fracción simple o describir el procedimiento para crear sus teselaciones. Como dijera M.C. Escher, artista de los 50´s: las leyes matemáticas no son ni creaciones ni inventos del hombre. Son sencillamente y existen con gran independencia del espíritu humano.

4. A continuación presento un fragmento de la Historia de Herodoto, que cuenta una de las hipótesis más plausibles sobre los orígenes de las matemáticas: El rey va a dividir el país entre todos los egipcios y va a dar a cada uno una parcela de tierra de las mismas proporciones, que se convertirá en la propia fuente principal de ingresos y a partir de la cual se fijará un pago de impuestos anual. Y si un hombre perdiera parte de su tierra por una crecida del río, tendrá que ver al faraón (Ramsés II, n. 1300 a.C.) para declarar lo que le ha pasado. De esta manera, el rey enviará a algunos hombres para comprobarlo y para medir el espacio de tierra perdido, para que a partir de aquel momento pague en proporción a la taza original. Pienso que de aquí van a aprender los griegos el arte de la geometría. ^[7] Así, parece que las matemáticas no iniciaron con el número en sí, sino con relaciones y proporciones geométricas, vistas en conjunto como ciertos patrones, no como sucesiones de números y fórmulas matemáticas.

5. Los primeros términos de la progresión geométrica ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 son representados, cada uno de ellos, por un jeroglífico. Astutamente dispuestos, componen el ojo de Horus, el dios con cabeza de halcón de los egipcios. Apreciamos cómo se hace mayor énfasis en los patrones que producen las fracciones, que en la sucesión en sí.

6. Después vinieron los babilonios, que habitaron Mesopotamia, en lo que ahora es tierra de grandes disputas, misma que también albergara el supuesto Árbol del Bien y del Mal de los católicos: Irak. La grandeza de las matemáticas de esta civilización, en base 60, se muestran en la tabla de arcilla conocida como Plimpton 322, en la cual se hacen cálculos de tercias pitagóricas, utilizando símbolos especiales para las incógnitas para solucionar las ecuaciones, con lo que se marca el punto de partida del álgebra. Los babilonios utilizaron la demostración en matemáticas, resolviendo ecuaciones mediante procedimientos sistemáticos concretos, pero se limitaban a dar instrucciones verbales de los cálculos necesarios. Muy probablemente, los procesos aritméticos y algebraicos y las reglas geométricas que utilizaban eran el resultado final de evidencia física. ^[8] Además, las soluciones a sus problemas eran números racionales o, más exactamente, números expresables en la notación babilónica sexagesimal. Así, podemos ver cómo sus problemas estaban basados en patrones geométricos y en una serie de instrucciones que no necesariamente se daba como fórmulas matemáticas.

7. Euclides, en sus elementos, da las siguientes definiciones: Una unidad es algo en virtud del cual cada una de las cosas que existen se denomina una. Un número es una unidad compuesta de unidades. Con esto, aún sigue siendo la geometría la base de los cálculos matemáticos. De hecho, será hasta 1637, con La Geometría de Descartes, que la geometría analítica permite prescindir de los lugares geométricos para hacer cálculos, siendo utilizadas las letras para asignar cantidades. Descartes relaciona las operaciones aritméticas con relaciones de líneas en geometría. La línea, unidad relacionada con los números, se puede diseccionar y de esta manera obtener las operaciones aritméticas. Cualquier estudiante de Geometría Euclídea sabe cómo obtener la raíz cuadrada de un número con regla y compás. Así, las cantidades y operaciones también pueden ser expresadas como patrones geométricos. Claro que luego llegan las geometrías no euclidianas y se pierde algo de la unicidad de las rectas, por lo que el número también sale afectado de alguna manera.

8. Las matemáticas han sido utilizadas por diversas culturas para otras actividades aparte del conteo. Por ejemplo, la compleja interpretación de datos naturales utilizando, entre otras cosas, algunas matemáticas fundamentales ha asegurado la supervivencia de los aborígenes australianos por al menos 50,000 años. Así, estamos hablando de una cultura antigua, que sigue vigente en nuestros días. Algunos ejemplos de las matemáticas tradicionales de los aborígenes australianos incluyen el conteo en sistemas no decimales, el reconocimiento de patrones en las relaciones entre clanes y calendarios basados en cambios naturales en el medio ambiente. También están las relaciones entre las cosas. Una lanza puede ser demasiado larga para una persona en particular, demasiado corta o simplemente adecuada: la longitud de la lanza es, de esta manera, medida relativamente con el usuario. ¡Y dicen que la relatividad es algo meramente moderno!

9. También tenemos a los navegadores de las islas del pacífico oeste, los polinesios, micronesios y melanesios, quienes utilizaron una combinación de técnicas cuando se aventuraban en alta mar, complementando la navegación celeste con una comprensión detallada de las olas y patrones de las corrientes. Utilizando diagramas animados, se puede explicar cómo los navegadores de Micronesia pudieron navegar entre las islas. ^[9] Aprender a leer los patrones de corrientes en el océano no fue una tarea fácil. Estos navegantes adquirieron un gran conocimiento acerca de patrones de las corrientes y cómo eran afectadas por las islas y por cambios en las direcciones del viento, pero sin contar con un lenguaje escrito, era difícil transmitir estos conocimientos a los jóvenes navegantes. Resolvieron este problema con diagramas de varas, uniendo varas para formar figuras geométricas que ilustraban los patrones de las corrientes y los oleajes que podrían ser encontrados en un cierto viaje. Ahora, en occidente, utilizamos complejas ecuaciones diferenciales y sus campos de direcciones, con resultados aproximados, para hablar de estos fenómenos. Aquí apreciamos que lo complejo ha tenido momentos en que ha podido explicarse con modelos simples.

Pero, ¿qué es el número?

1. A la pregunta de qué es el número uno, o de qué denota el signo 1, se suele responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado: “el número uno es una cosa” no es una definición, porque a un lado se halla el artículo determinado y al otro, el indeterminado, y que tal enunciado sólo expresa que el número uno pertenece a las cosas, pero no nos dice qué cosa es, entonces quizá quien nos ha formulado la pregunta nos invitará a que escojamos una cosa cualquiera, a la que decidamos llamar uno. Pero si todos tuviesen derecho a entender bajo este nombre lo que quisieran, resultaría que el enunciado anterior sobre el uno se referiría a cosas distintas para distintas personas; no habría ningún contenido común a tales enunciados. Así comienza Frege su introducción a Los Fundamentos de la Aritmética, libro en el que pretende abordar el gran problema de definiciones sobre qué es ese objeto que parece tan natural en nuestros días, sin embargo nadie es capaz de definir correctamente: el número.

2. Gottlob Frege intentó dar respuesta al problema al que se enfrentaban los matemáticos, ¿qué es un número? Al final de un extenso estudio filosófico, cuyo recorrido abarca las opiniones de Hankel, Stuart Mill, Leibniz, Kant, Cantor y Shröder, entre otros, llega a conclusiones que parecerían igual de contradictorias como el planteamiento al inicio del texto. Cabe decir que todos estos autores, en cuyas opiniones se ha basado el concepto de número, son occidentales. Pero, ¿qué pasa en Oriente, en países como Singapur y Japón que están entre los 5 mejores países en niveles de matemáticas? ¿Acaso estos países no tienen opinión sobre el tema, o más bien no se nos ha permitido conocerlas? Si el uso del número comenzó en oriente, simultáneamente con el uso de los mismos por los mayas, ¿por qué no voltear a las otras culturas, a las no tan civilizadas, por utilizar la terminología bourgeois?

3. Me permito parafrasear a San Agustín: Entonces, ¿qué es el número? Se perfectamente lo que es, con tal que nadie me pregunte; pero si me preguntan qué es y trato de explicarlo, me frustro totalmente. Así, se ha llegado a dar por anticipado el significado de ciertos conceptos según se utilizarán, sin necesidad de ir más allá en la definición. Cauchy, en su libro, Curso de Análisis, escribe, en el prefacio: Utilizaremos siempre la denominación de número –en el sentido que se le da en la aritmética– cuando sean necesarios los números de la medida absoluta de las magnitudes…, muchos matemáticos han optado por esquivar la cuestión, misma que carece de sentido para otras definiciones más complejas.

4. Reuben Hersh, en el foro virtual que dirige John Brockman, edge.org, comenta: Un número no es algo que ande allá afuera; no hay ningún lugar en el que esté, o ninguna cosa que sea. Tampoco es sólo un pensamiento porque, después de todo, dos mas dos son cuatro, aun cuando lo sepas o no. Wittgenstein podría concluí a esto: El concepto de número no es otra cosa que lo común de todos los números, la forma general del número; el concepto de número es el número variable.

5. Lo que sí conocemos, y hasta podemos construir con ciertas leyes y axiomas, son los diversos tipos de números: naturales, enteros, primos, cuadrados, triangulares, perfectos, algebraicos, racionales, irracionales, reales, ultra reales, complejos, hipercomplejos, surreales, transfinitos, de Fibonacci, de la sección aurea… la mayoría de estos sistemas pueden ser vistos como una cierta sucesión, con asignación de propiedades de orden pero, conforme avanzamos en la ciencia y requerimos números más elaborados, como los complejos, nos damos cuenta que no es posible determinar relaciones de orden, ya que dejamos los sistemas lineales para trabajar en el plano.

6. A los objetos sólo puedo nombrarlos. Los signos hacen las veces de ellos. Sólo puedo hablar de ellos, no puedo expresarlos. Una proposición sólo puede decir cómo es una cosa, no lo que es! (Wittgenstein) Entonces parece imposible llegar a una definición formal de qué son los números; sin embargo, sabemos cómo son y cual es su comportamiento, por lo menos de algunos de ellos y de otros, nos conformamos con la intuición, como la distribución de los primos, por citar algún ejemplo.

7. Tomemos los números surreales inventados por John Conway quien, entre otras cosas, creara el famoso Game of Life. Un número surreal es un par de conjuntos {X_L, X_R} donde los índices indican la posición relativa (izquierda y derecha) de los conjuntos en la pareja. El primer número que puede ser construido es 0={,} para el cual, los conjuntos, tanto del lado izquierdo como del derecho, son vacíos. El resto de los números surreales, son formados a partir del 0 y aplicando únicamente estas dos simples reglas. Realmente, es una creación de algo que sale de la nada. Martin Gardner describe ciertas aplicaciones de los números surreales a la teoría de juegos también desarrollada por Conway. Parece que los números pueden ser construidos a partir de ciertas instrucciones sencillas, mismas que pueden escribirse en palabras, sin necesidad de recurrir a los símbolos algebraicos comunes para definir instrucciones matemáticas.

8. Después de todas las discusiones posibles, muchos matemáticos suelen admitir que un conjunto de objetos (cualesquiera que sean) siempre puede ser contado mediante la asignación unívoca de palabras numéricas a los elementos. Entonces recurrimos al uso de la palabra del número, no necesariamente al número en sí. Por otro lado, también se ha llegado a aceptar que cualquier conjunto de objetos puede ser acomodado en una cierta sucesión lineal, aun cuando el universo y sus fenómenos no se comportan de la misma manera. ¿Habrá otra forma de acomodar los objetos, sin recurrir a la linealidad?

Futuro del número, ¿representación geométrica?

1. Cuando observamos la naturaleza a simple vista, sin un aprendizaje científico, la contemplamos como un conjunto de objetos, mismos que percibimos al ser filtrados pro nuestro cerebro; sin embargo, hay muchos objetos que no vemos, no porque no estén allí, sino que, inconscientemente, los filtramos para ver sólo los que nos interesan. Pasa lo mismo con el oído; podemos estar un día entero al lado de una cascada para, sorprendentemente, llegar a no escucharla por ciertos momentos, y no es que no la escuchemos, sino que elegimos qué información dejar pasar. Ahora, si hablamos en términos científicos modernos, podemos citar los casos de la física cuántica, que cree en la existencia de varios universos paralelos posibles, además del que nosotros habitamos; también está el caso de las dimensiones que no vemos y dado que no las vemos, no podríamos asegurar su no existencia.

2. Hemos cruzado un gran camino para llegar a asegurar la unicidad del número y de los sistemas en los que se basa. Los Fundamentos de las Matemáticas han sido puestos en tela de juicio una y otra vez, hasta que Gödel demostrara la inconsistencia de los sistemas matemáticos, luego Turing y sus algoritmos para probar incompletez basados en no computabilidad. El universo perfecto de las matemáticas que modelaban el universo comenzó a tambalearse, junto con el orgulloso trabajo de Russell. Por su parte, la mecánica cuántica y la incertidumbre, contribuyeron otro tanto a la confusión de los sistemas únicos y perfectos, como se suponía tenía que ser la medida de la ciencia. Las líneas rectas se volvieron elípticas; las partículas, juguetonas y caprichosas; los números, demasiado restringidos para explicar ciertos fenómenos de lo macro y lo micro; las fórmulas no pudieron ajustarse, muchas veces ni explicar algunos comportamientos del universo. Luego llegó la computadora y por primera vez, fue utilizada para demostrar un teorema, el de los cuatro colores, causando escepticismo entre cierto círculo de matemáticos. Ahora, cito: para aquellos como yo, que no somos matemáticos, la computadora puede ser una poderosa amiga de la imaginación. Como las matemáticas, no solo alarga la imaginación; también la disciplina y la controla. (Richard Dawkins)

3. El número no es más que un atributo en específico de un objeto. Tomemos una manzana; además de su número, podemos mencionar el color, la textura, el proceso de cultivo,... Lo mismo pasa con los fenómenos de la naturaleza; las matemáticas son una forma de expresarlos, pero no la única. Ahora hay varios autores que hablan de cómo lo complejo puede originarse a través de cálculos simples, principal tesis de Stephen Wolfram, creador de Mathematica, en su nuevo libro A New Kind of Science; también está John Conway, creador de los números surreales, Gregory Chaitin del Laboratorio de Investigación Thomas J. Watson de la IBM y Rodney Brooks director del laboratorio de inteligencia artificial del MIT, por citar algunos. Parece que la nueva ciencia va por diferentes caminos pero ¿cuáles son?

4. En cuanto a la física, tomemos el experimento de Feynman ^[17]. A partir del experimento de la doble rendija de Young, donde se demostró que la luz se comporta como ondas y como partículas, en la cual se disparan electrones hacia una superficie fluorescente con dos rendijas intermedias, los electrones atraviesan el lado izquierdo o el derecho, pero no podemos estar seguros de cual, porque cualquier intento de verificar esta cualidad aparentemente básica de la realidad arruina el experimento, por lo cual sólo se les asigna una probabilidad. Feynman argumentó que, mientras viaja desde la fuente hasta un punto determinado de la pantalla fosforescente, cada electrón atraviesa en realidad simultáneamente todas las trayectorias posibles. El electrón, según Feynman, va olfateando simultáneamente todos los caminos posibles que conectan su punto de partida con su destino final. Entonces, acaso la unicidad del número, como la de la partícula, ya no sean la mejor manera de ver los fenómenos, sino que necesitamos una óptica que nos permita ver distintos fenómenos al mismo tiempo.

5. Otro elemento de la física moderna que nos invita a romper con la unicidad del número es la teoría de las cuerdas, que pretende dar una solución al conflicto entre la Gravedad General y la Mecánica Cuántica. Dos cuerdas, en un proceso de colisión, pueden unirse para dar lugar a una tercera cuerda, que posteriormente puede escindirse en dos cuerdas que se desplazan siguiendo trayectorias desviadas.^[17] Dos cuerdas, son lo mismo que uno, y lo mismo que dos. Otra vez se rompe el concepto de unicidad por la necesidad de otra explicación del universo. Dado que una cuerda es un objeto alargado, queda garantizado que no hay una ubicación inequívoca en el espacio o un momento inequívoco en el tiempo en que las cuerdas interaccionen por primera vez –más bien depende del estado de movimiento del observador–.

6. Ahora volteemos a las matemáticas y a los juegos de mesa antiguos orientales. Ustedes dirán, ¿qué relación hay entre los dos? El juego de mesa japonés Go, ha sido investigado últimamente para predecir patrones de la inteligencia artificial y crear sistemas matemáticos. Go es fácil de aprender pero difícil de dominar. Se juega en un tablero con una rejilla de 19 x 19, donde se van poniendo “piedras” negras y blancas, alternadamente. El objetivo del juego es dominar un territorio, no atacar al contrincante. El reto de programar este juego en la computadora es el de simular los procesos que van en el fondo de la inteligencia artificial, los cuales incluyen el estudio del aprendizaje y toma de decisiones, pensamiento estratégico, reconocimiento de patrones y acaso, intuición. Cito: Junto con la intuición, el reconocimiento de patrones es una gran parte del juego. Mientras que las computadoras son buenas para operar con números grandes, las personas son buenas para reconocer patrones, por naturaleza, ^[21] dice el John McCarthy, profesor emérito de la Universidad de Stanford y uno de los pioneros de la IA.

7. Conway descubrió, o inventó, los números surreales, después de observar un juego del campeón británico de Go. Cito: Me di cuenta de que en el Go, cerca del final, el juego tendía a descomponerse como una suma de juegos. Así descubrí que algunas posiciones se comportaban como números. Y después descubrí aún más, que si jugabas un número infinito de juegos, algunas posiciones se comportaban como un nuevo tipo de número. Y así es como descubrí los números surreales.^[22] Otro de los estudios sobre el Go, dio como resultado el juego Life: Game of Life, también desarrollado por Conway, el cual crea un sistema universal, capaz de hacer multitud de cálculos arbitrarios, a partir de unas cuantas reglas simples: una célula sobrevive si tiene dos o tres vecinos; muere si tiene cuatro o más, o si solo tiene uno; nace si tiene exactamente tres vecinos. A partir de estas reglas simples, y después de las aportaciones de un grupo de MIT, se pudo probar una configuración inicial que creaba una población infinita, con lo que se comprobó la universalidad del sistema. El juego Life, puede correrse desde los demos de MatLab.

8. Ahora tomemos la siguiente imagen, también explorada por Sierpinski, y utilizada en inmunología, generada mediante un algoritmo y procesada en la computadora. Corresponde al triángulo de Pascal, modulo 2, con un operador antilógico. Así, parece que podemos interpretar fórmulas matemáticas mediante ciertos algoritmos y reconocimiento de patrones. Encontramos patrones, la mayoría aleatorios, de gran dificultad para calcular, o mas bien imposible sin la ayuda de una computadora, en muchas áreas de la matemática moderna, como en el Análisis de Fourier y sus espectros para analizar el DNA, los fractales, las teselaciones, los autómatas, los comportamientos de los sistemas dinámicos no lineales, la nanotecnología, la teoría de la evolución, la teoría de la complejidad, el arte, la filosofía, ciertos patrones en teoría de números, las espirales de la naturaleza. Nuevas herramientas son necesarias para comprender el universo, y acaso sea necesario un nuevo enfoque, como Stephen Wolfram sugiere, el hecho de que es posible tener un programa de computadora simple que haga algo muy complicado. Otra manera de obtener un triángulo como el de la figura es mediante una regla simple: una célula será negra siempre que uno u otro, pero no ambos de sus vecinos sean blancos en el paso anterior. Entonces, vemos que podemos obtener patrones mediante complicadas fórmulas o con sencillas reglas; el resultado es el mismo.

9. Los autómatas de teselación son idealizaciones matemáticas de sistemas físicos en los cuales el espacio y el tiempo son discretos (Wolfram, 1983) Estos autómatas, que pueden exhibir comportamientos aleatorios y algunas veces comportamientos muy ordenados, dependiendo de las reglas del juego, han encontrado aplicaciones en el modelado de la propagación de especies de plantas y la propagación de incendios, por citar algunos. Se crean a partir de situaciones dadas de una célula y sus vecinas, con cierto comportamiento para las siguientes generaciones…

10. Wolfram propone que la manera de ver el universo y las cosas complejas, no tiene por qué ser compleja, sino que puede originarse a partir de patrones simples. Propone un nuevo tipo de ciencia, basado en ciertos algoritmos sencillos, que producen patrones, los cuales podremos interpretar, de la misma manera en que interpretamos las fórmulas matemáticas. Así, los patrones y los algoritmos que los generan, pueden explicar mejor el universo, sin necesidad de recurrir a los números y los cálculos casi imposibles que se tendrían que hacer para intentar los mismos resultados. Ah, y el azar, no olvidemos la aleatoriedad con la que pasan los sucesos en el mundo…

Conclusiones

1. Hay una gran variedad de temas interesantes, cada uno de los cuales llevaría años de estudio, pero ante un panorama global, por lo menos en mi caso, he podido darme cuenta de ciertos aspectos que me atraen de las matemáticas y de las ciencias en general.

2. En definitiva, este es un trabajo incompleto, lo cual me da cierta satisfacción, porque se dice que los buenos temas son aquellos que no podemos atacar o resolver muy rápido, y por lo mismo son los más placenteros. Además, lo importante del camino no es siempre la meta, sino el camino en sí. Por mi parte, disfruté de los parajes por los que caminé, corrí y otras veces tuve que abandonar para retomar desde otro ángulo. Creo que la ciencia va a desarrollar, de hecho, tiene que desarrollarse por otros medios mucho más simples en apariencia, pero que nos costarán un gran trabajo volver a comprender. Por qué digo volver a comprender, y no aprender? Lo que pasa es que tal vez sea un enfoque que ya sabíamos hace miles de años, como la numeración y conteo cíclicos de los aztecas, nuestro pueblo inmediatamente anterior, pero cuando nos enfrentamos a problemas parecidos, como los grupos cíclicos o booleanos del álgebra, nos cuesta volver a entender, siendo conceptos por demás sencillos y naturales. Mas que responder, pregunto, como diría Jorge Wagensberg: El problema de la ciencia es hacer las preguntas correctas, las respuestas ya están allí, en el universo.

Bibliografía

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Para saber más: Wikipedia. La enciclopedia libre, Sociedad Matemática Mexicana