Álgebra compleja

Para poder definir las operaciones trascendentes para los cuaternios, son necesarias dos cosas. Primero, hay que hacer un repaso del álgebra de números complejos. Por otra parte, debemos formalizar un principio que aunque ya se ha mencionado bastante, a partir de ahora se empleará continuamente.

Principio de equivalencia de unidades imaginarias: (PEUI)
Cualquier expresión con números cuaternios de la forma a + bû, en las cual no intervenga ninguna unidad imaginaria diferente de û, puede reducirse a una expresión de números complejos, donde û es indistinguible de i. Además, una unidad imaginaria forzosamente es de la forma ai + bj + gk, donde |ai + bj + gk| = 1.

Supongamos por ejemplo que buscamos elevar a la cuarta potencia el cuaternio Q = - 21 + 3i + 12j + 4k, de acuerdo a la forma de expresión que se planteó al principio, tenemos que:

Ahora, podemos imaginar por el momento que Q = - 21 + 13î, entonces, simplemente tenemos que:

Pero, sustituyendo la unidad imaginaria original, resulta:

Ahora, si estamos trabajando solamente con números reales, y estas operaciones nos generan números imaginarios, cualquier unidad puede emplearse. Por ejemplo:

Significa que:

Pues en general, tenemos ahora que:

Este mismo principio se usará muchas veces para simplificar las definiciones.

Ahora, un repaso de álgebra compleja:

Tenemos primero que nada:

Por lo tanto, de aquí que:

Es muy importante señalar que la función logaritmo natural es multivaluada, y a eso se debe que muchas de las expresiones de la forma w^z sean multivaluadas, excepto cuando z es un entero real. Además, el complejo z debe expresarse en forma polar, para lo cual es bueno recordar ciertas convenciones y problemas frecuentes. En esta liga hay un apartado especial para formalizar la expresión de un cuaternio en forma polar.

Son importantes los siguientes casos de la ecuación de Euler:

Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas son:

Y sus inversas:

El elevar un número complejo a otra potencia compleja es expresado:

Esto incluye por supuesto a las raíces:

Podemos considerar que todas las funciones trigonométricas y sus inversas (en total serían 24), pueden derivarse de exponenciales y logaritmos. De aquí concluiríamos que la única función multivaluada para los complejos es el logaritmo natural, por lo tanto, sólo aquellas funciones definidas a partir de logaritmos pueden ser multivaluadas.

Sin embargo, NO todas las funciones que involucran logaritmos son multivaluadas, y aquí tenemos un ejemplo, al elevar un número cualquiera a una potencia real y entera:

Expresamos a z, de forma polar, según

Y tenemos:

Nótese que el segundo miembro es independientemente del valor de n y del de x, y que siempre equivale a 1, entonces, la función tiene sólo un valor.

Si lo representamos por sus elementos polares, nos damos cuenta que el resultado es muy previsible el teorema de Moivre:

Es decir:

Copyright © 1999-2001 Ricardo Arturo Espinoza Reyes