LA SEZIONE AUREA
 Divisione di AB in due segmenti in proporzione aurea tra loro (Afi e Bfi) |
 Costruzione di un rettangolo aureo dato il quadrato ABCD. |
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Il contenuto di questo articolo era stato postato da me all'interno dei newsgroup di: it.cultura, it.cultura.filosofia, it.reticiviche.bologna.cultura. Ora per ragioni di tempo, non lo ho riscritto, ma penso di aggiornarlo prima possibile. Allego a questo anche una serie di LINK dal quale e' possibile farsi un idea della fama di cui gode questo rapporto. La sezione aurea e' un rapporto irrazionale che viene quantificato dal valore 1,618... Voce SEZIONE AUREA tratta dal “Dizionario di Architettura” di N. Pevsner, Einaudi, Torino,1992 Ripartizione di un segmento in due parti, che stanno fra loro come la maggiore (ac) sta al segmento intero (ab); il che, espresso in simboli, da appunto bc:ac=ac:ab. Il rapporto tra la parte minore e la maggiore e', pertanto vicino a 5/8. Probabilmente usata fin dai Greci come canone estetico (canone di Policleto), la SA e' stata applicata sia alle opere d'arte che alle proporzioni del corpo umano: cosi' in L.Pacioli (De Divina Proportione, Venezia, 1509) e Leonardo da Vinci; in epoca moderna, da Le Corbusier. Questa definizione e' abbastanza sbrigativa, pero' intanto cita un libro importantissimo per la divulgazione della sezione aurea nel mondo occidentale: il trattato di Luca Pacioli (matematico rinascimentale) La proporzione sopra riportata indica il calcolo dal quale si ottiene il valore della sezione aurea che e' uguale a (1+sqr(5))/2 N.B. (sqr) e' la radice quadrata. Questa e' uno dei metodi dal quale si ottiene piu' facilmente la sezione aurea, un altro deriva dal rapporto di due elementi consecutivi della serie di Fibonacci, serie importantissima per spiegare il rapporto che la sezione aurea ha con la musica. Cn+2=Cn+1 + Cn oppure come un semplice problema: Un contadino chiuse nella sua conigliera una coppia di conigli per avviare un allevamento. La coppia prese a prolificare dopo il secondo mese generando una nuova coppia di conigli. Nei mesi che seguirono la coppia capostipite continuo' a generare regolarmente una coppia al mese, e altrettanto fece ciascuna delle coppie generate, ciascuna a partire dal secondo mese della propria nascita. Quante coppie di conigli popolarono la conigliera dopo il decimo mese se nel frattempo non mori' nessun coniglio? Risposta: 55 Per una comprensione immediata del problema e' necessario farsi uno schema grafico, io riporto invece solo i termini della serie. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377... I termini sono individuati dalla funzione sopra. Se si fa il rapporto tra due termini consecutivi ci si accorge che al crescere di n il rapporto tende al valore della sezione aurea: 3/2=1.5
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 Il tendere della successione di Fibonacci alla sezione aurea può essere visualizzato attraverso l'accostamento di quadrati il cui lato è adiacente quello dei precedenti. Il limite all'infinito della serie produce un rettangolo i cui lati sono tra loro in rapporto aureo.
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La sezione aurea ha comunque un campo di applicazione prevalentemente geometrico:
nel pentagramma (figura stellata ottenuta dalle diagonali del pentagono), essa
determina il rapporto di tutti i segmenti e solo attraverso questo rapporto e'
possibile disegnare il pentagono, figura dalle proprieta' magiche. Chi ha visto
"Un lupo mannaro americano a Londra" probabilmente si ricordera' che nel Pub de
"L'agnello sgozzato" vi era una stella a cinque punte a protezione di esso; mentre il pentagramma rovesciato, ha significato esattamente contrario al
precedente.
Nel Faust Goethe racconta che il dottor Faust aveva appeso una stella a cinque punte sulla porta del suo studio; una volta che, volendosi liberare di Mefistofele lo invito' ad uscire, questi si rifiuto' con la scusa:
Non posso uscire;
Tornando alla sezione aurea, questo rapporto definisce la formula della spirale logaritmica
secondo la quale sono conformati i gusci dei molluschi (l'esempio piu' evidente
e' la conchiglia del Nautilus), attraverso cui si puo' determinare la
disposizione degli elementi di una pigna, la disposizione dei semi di un
girasole, degli occhi nella coda di un pavone. Questo rapporto e' presente nella
fillotassi (la disposizione delle foglie sui rami) e, secondo molti studi, anche
nel proporzionamento delle varie membra dell'uomo.
I piu' grandi artisti e studiosi ne hanno tenuto conto nel disegnare la propria
arte: i greci la usavo per proporzionare le proprie sculture ed i propri templi,
(il Partenone e' organizzato secondo geometrie auree nella sua totalita' delle
parti, con una precisione millimetrica), e dai greci ha preso il simbolo
matematico espresso dalla lettera greca fi, iniziale dello scultore Fidia, ed
inoltre usata dal gruppo dei pitagorici che si identificava attraverso la figura
del pentagramma e pure le piramidi egizie sono proporzionate attraverso gli elementi consecutivi
della serie di Fibonacci.
La storia dell'arte ne offre innumerevoli esempi, ma il rinascimento svela le regole;
questi "segreti" vengono infatti considerati quasi come magici anche nei trattati dei piu' importanti
pensatori rinascimentali, e proprio il primo testo matematico stampato e' dedicato a
questo argomento (cfr. Luca Pacioli).
Ma la sezione aurea continua a riproporsi continuamente sino ad arrivare all'inizio del
nostro secolo in cui i cubisti fondano addirittura un gruppo chiamato la
"Section d'or", i neoplasticisti (cfr. Piet Mondrian) la usano nella definizione
delle proprie opere ed i piu' grandi architetti la utilizzano per le
proporzioni.
Dai primi rapporti della serie di Fibonacci possiamo scoprire interessanti
relazioni tra la sezione aurea e l'armonia.
Il rapporto tra 1/1 ci da' la corda intera, l'unisono, (Es. Do1)
D'altra parte, l'intervallo di si sesta minore (tra Mi e Do2), complementare
all'intervallo di terza maggiore (tra Do1 e Mi), ha per misura 5/8, il termine
successivo alla serie di Fibonacci.
Oltre all'armonia il rapporto aureo e' stato trovato anche nella struttura della
musica. Sono stati fatti studi approfonditi su brani di Bela Bartok, dove i cambi
maggiore-minore, crescendi e diminuendi sono organizzati secondo questa
proporzione. Altri studi effettuati su canti gregoriani dimostrano che sono stati trovati rapporti di questo tipo nel 70% dei casi. Altre considerazioni andrebbero fatte sui ritmi ma che per ora non
approfondisco.
Questo articolo vuole solleticare la curiosita' a questo argomento, che si
connette ai campi disciplinari piu' disparati. Nel 1876 uno psicologo, Fechtner,
sottoponeva ad un gruppo di intervistati una serie di rettangoli nel quale uno
era proporzionato secondo il rapporto aureo. La gaussiana delle risposte aveva il suo picco
appunto nel rettangolo di queste proporzioni. Questo esempio e' forse quello che
piu' lascia sconcertati perche' esso mostra forse una naturale predisposizione
alla sezione aurea da parte dell'uomo.
Come spero di aver dimostrato le frequenza con cui si presenta questo rapporto
e' impressionante e quindi, non essendo io particolarmente incline al trascendentalismo, sto
cercando di trovare una giustificazione abbastanza scientifica, che si rifaccia
forse alle nostre strutture di percezione e di organizzazione della memoria...
Mi dispiace se l'articolo non e' troppo chiaro e risulta chiaramente scritto in
fretta, ma mi interesserebbe moltissimo continuare una discussione su questo
argomento per cui se siete interessati, non esitate a postarmi...
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 L'immagine ai raggi X della conchiglia del nautilus evidenzia una struttura geometrica perfetta; la spirale logaritmica. Questa spirale si ottiene da una progressione aurea. |
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